Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 6 - Chương 1 - Đại số 9

Đề bài

Bài 1. Rút gọn :

\(A = \left( {\sqrt 6  + \sqrt {10} } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} } \)

\(B = {{\sqrt 3  + 2} \over {\sqrt 3  - 2}} - {{\sqrt 3  - 2} \over {\sqrt 3  + 2}} + {{8\sqrt 6  - 8\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  - 1}}\)

Bài 2. Tính : \(Q = \sqrt {\sqrt 2  + 2\sqrt {\sqrt 2  - 1} } \)\(\, + \sqrt {\sqrt 2  - 2\sqrt {\sqrt 2  - 1} } \)

Bài 3. Tìm x, biết :

a. \(\left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right) =  - x + \sqrt 5 \)

b. \(\sqrt {{x^2} + 2x\sqrt 3  + 3}  = \sqrt 3  + x\)

Bài 4. Cho \(A = {1 \over {\sqrt x  + \sqrt {x - 1} }} - {1 \over {\sqrt x  - \sqrt {x - 1} }} - {{x\sqrt x  - x} \over {1 - \sqrt x }}\)

a. Rút gọn biểu thức A

b. Tìm giá trị của x để \(A > 0\).

Hướng dẫn giải

Bài 1.

\(\eqalign{   A &= \left( {\sqrt 6  + \sqrt {10} } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} } \cr& = \sqrt 2 \left( {\sqrt 3  + \sqrt 5 } \right).\sqrt {4 - \sqrt {15} }   \cr  &  = \left( {\sqrt 3  + \sqrt 5 } \right).\sqrt {8 - 2\sqrt {15} }  \cr&= \left( {\sqrt 3  + \sqrt 5 } \right).\sqrt {{{\left( {\sqrt 3  - \sqrt 5 } \right)}^2}}   \cr  &  = \left( {\sqrt 3  + \sqrt 5 } \right).\left| {\sqrt 3  - \sqrt 5 } \right| \cr&= \left( {\sqrt 3  + \sqrt 5 } \right).\left( {\sqrt 5  - \sqrt 3 } \right)\,\,\left( {\text{Vì }\,\sqrt 3  < \sqrt 5 } \right)  \cr  &  = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr&= 5 - 3 = 2 \cr} \)

\(\eqalign{   B &= {{\sqrt 3  + 2} \over {\sqrt 3  - 2}} - {{\sqrt 3  - 2} \over {\sqrt 3  + 2}} + {{8\sqrt 6  - 8\sqrt 3 } \over {\sqrt 2  - 1}}  \cr  &  = {{{{\left( {\sqrt 3  + 2} \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt 3  - 2} \right)\left( {\sqrt 3  + 2} \right)}} - {{{{\left( {\sqrt 3  - 2} \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt 3  - 2} \right)\left( {\sqrt 3  + 2} \right)}} + {{8\sqrt 3 \left( {\sqrt 2  - 1} \right)} \over {\sqrt 2  - 1}}  \cr  &  = {{3 + 4\sqrt 3  + 4 - \left( {3 - 4\sqrt 3  + 4} \right)} \over {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - {2^2}}} + 8\sqrt 3   \cr  &  = {{3 + 4\sqrt 3  + 4 - 3 + 4\sqrt 3  - 4} \over {3 - 4}} + 8\sqrt 3   \cr  &  = {{8\sqrt 3 } \over { - 1}} + 8\sqrt 3  =  - 8\sqrt 3  + 8\sqrt 3  = 0 \cr} \)

Bài 2.

\(\eqalign{   Q& = \sqrt {\sqrt 2  + 2\sqrt {\sqrt 2  - 1} }  + \sqrt {\sqrt 2  - 2\sqrt {\sqrt 2  - 1} }   \cr  &  = \sqrt {{{\left( {\sqrt {\sqrt 2  - 1}  + 1} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt {\sqrt 2  - 1}  - 1} \right)}^2}}   \cr  &  = \left| {\sqrt {\sqrt 2  - 1}  + 1} \right| + \left| {\sqrt {\sqrt 2  - 1}  - 1} \right|  \cr  &  = \sqrt {\sqrt 2  - 1}  + 1 + 1 - \sqrt {\sqrt 2  - 1}  \cr&= 2\,\,\left( {\text{Vì }\,\sqrt {\sqrt 2  - 1}  < 1} \right) \cr} \)

Bài 3. a. Điều kiện: \(x\ge 0\)

\(\eqalign{  & \left( {2 - \sqrt x } \right)\left( {1 + \sqrt x } \right) =  - x + \sqrt 5   \cr  &  \Leftrightarrow 2 + 2\sqrt x  - \sqrt x  - x =  - x + \sqrt 5   \cr  &  \Leftrightarrow \sqrt x  = \sqrt 5  - 2 \Leftrightarrow x = {\left( {\sqrt 5  - 2} \right)^2}  \cr  &  \Leftrightarrow x = 9 - 4\sqrt 5  \ge 0\,\,\left( \text{nhận} \right) \cr} \)

b.

\(\eqalign{  & \sqrt {{x^2} + 2x\sqrt 3  + 3}  = \sqrt 3  + x  \cr  &  \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + \sqrt 3 } \right)}^2}}  = \sqrt 3  + x  \cr  &  \Leftrightarrow \left| {x + \sqrt 3 } \right| = \sqrt 3  + x  \cr  &  \Leftrightarrow x + \sqrt 3  \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - \sqrt 3  \cr} \)

Bài 4. a. Điều kiện để biểu thức A có nghĩa :

\(\eqalign{  & \left\{ {\matrix{   {x \ge 0}  \cr   {x - 1 \ge 0}  \cr   {\sqrt x  - \sqrt {x - 1}  \ne 0}  \cr   {1 - \sqrt x  \ne 0}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow x > 1  \cr  & A = {1 \over {\sqrt x  + \sqrt {x - 1} }} - {1 \over {\sqrt x  - \sqrt {x - 1} }} - {{x\sqrt x  - x} \over {1 - \sqrt x }}  \cr  &  = {{\sqrt x  - \sqrt {x - 1} } \over {\left( {\sqrt x  + \sqrt {x - 1} } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt {x - 1} } \right)}} - {{\sqrt x  + \sqrt {x - 1} } \over {\left( {\sqrt x  - \sqrt {x - 1} } \right)\left( {\sqrt x  + \sqrt {x - 1} } \right)}} - {{x\left( {\sqrt x  - 1} \right)} \over {1 - \sqrt x }}  \cr  &  = {{\sqrt x  - \sqrt {x - 1}  - \left( {\sqrt x  + \sqrt {x - 1} } \right)} \over {\left( {\sqrt x  + \sqrt {x - 1} } \right)\left( {\sqrt x  - \sqrt {x - 1} } \right)}} + {{x\left( {\sqrt x  - 1} \right)} \over {\sqrt x  - 1}}  \cr  &  = {{\sqrt x  - \sqrt {x - 1}  - \sqrt x  - \sqrt {x - 1} } \over {x - \left( {x - 1} \right)}} + x  \cr  &  = {{ - 2\sqrt {x - 1} } \over 1} + x =  - 2\sqrt {x - 1}  + x  \cr  &  = {\left( {\sqrt {x - 1}  - 1} \right)^2} \cr} \)

b.  \(A > 0 \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {x > 1}  \cr   {\sqrt {x - 1}  - 1 \ne 0}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {x > 1}  \cr   {x \ne 2}  \cr  } } \right.\)

Vậy để \(A > 0\) thì \(x > 1\) và \(x ≠ 2\).