Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 2 - Chương 1 - Đại số 9

Đề bài

Bài 1. Tìm điều kiện có nghĩa của biểu thức :

a. \(A = {1 \over {\sqrt {x - 3} }}\)

b. \(B = \sqrt {x - 2}  + {1 \over {x - 2}}\)

Bài 2. Chứng minh :

a. \(2\sqrt {2 + \sqrt 3 }  = \sqrt 2  + \sqrt 6 \)

b. \(\sqrt {1 + {{\sqrt 3 } \over 2}}  = {{1 + \sqrt 3 } \over 2}\)

Bài 3. Tính :

a. \(A = \sqrt 2 \left( {\sqrt {21}  + 3} \right).\sqrt {5 - \sqrt {21} } \)

b. \(B = \sqrt 2 \left( {\sqrt 5  - 1} \right).\sqrt {3 + \sqrt 5 } \)

Bài 4. Cho biểu thức \(P = \left( {{1 \over {\sqrt x  + 1}} - {1 \over {x + \sqrt x }}} \right):{{x - \sqrt x  + 1} \over {x\sqrt x  + 1}}\,\)\(\left( {x > 0} \right)\)

a. Rút gọn biểu thức P.

b. Tìm x sao cho \(P < 0\).

Bài 5. Tìm x, biết : \(\left( {3 - 2\sqrt x } \right)\left( {2 + 3\sqrt x } \right) = 16 - 6x\)

Hướng dẫn giải

Bài 1. a. A có nghĩa \( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {x - 3 \ne 0}  \cr   {x - 3 \ge 0}  \cr } } \right. \Leftrightarrow x - 3 > 0 \Leftrightarrow x > 3\)

b. B có nghĩa \( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {x - 2 \ge 0}  \cr   {x - 2 \ne 0}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {x \ge 2}  \cr   {x \ne 2}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow x > 2\)

Bài 2. a. Ta có:

\(\eqalign{  & 2\sqrt {2 + \sqrt 3 }  = \sqrt {4\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}   \cr  &  = \sqrt {8 + 4\sqrt 3 }  = \sqrt {6 + 2\sqrt {12}  + 2}   \cr  &  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 6  + \sqrt 2 } \right)}^2}}  = \left| {\sqrt 6  + \sqrt 2 } \right|  \cr  &  = \sqrt 2  + \sqrt 6 \,\,\left( {đpcm} \right) \cr} \)

b. Ta có:

\(\eqalign{  & \sqrt {1 + {{\sqrt 3 } \over 2}}  = \sqrt {{{2 + \sqrt 3 } \over 2}}   \cr  &  = \sqrt {{{4 + 2\sqrt 3 } \over 4}}  = {{\sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}} } \over {\sqrt 4 }}  \cr  &  = {{1 + \sqrt 3 } \over 2}\,\,\left( {đpcm} \right) \cr} \)

Bài 3. a. Ta có:

\(\eqalign{  A &= \left( {\sqrt {21}  + 3} \right)\sqrt {10 - 2\sqrt {21} }   \cr  &  = \sqrt 3 \left( {\sqrt 7  + \sqrt 3 } \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 7  - \sqrt 3 } \right)}^2}}   \cr  &  = \sqrt 3 .\left( {\sqrt 7  + \sqrt 3 } \right)\left( {\sqrt 7  - \sqrt 3 } \right) \cr&= 4\sqrt 3  \cr} \)

b. Ta có:

\(\eqalign{   B& = \left( {\sqrt 5  - 1} \right)\sqrt {6 + 2\sqrt 5 }   \cr  &  = \left( {\sqrt 5  - 1} \right)\sqrt {{{\left( {\sqrt 5  + 1} \right)}^2}}   \cr  &  = \left( {\sqrt 5  - 1} \right)\left( {\sqrt 5  + 1} \right)  \cr  &  = 5 - 1 = 4 \cr} \)

Bài 4. a. Ta có:

\(\eqalign{  & P = \left[ {{1 \over {\sqrt x  + 1}} - {1 \over {\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}} \right]:{{x - \sqrt x  + 1} \over {{{\left( {\sqrt x } \right)}^3} + 1}}  \cr  &  = {{\sqrt x  - 1} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}:{{x - \sqrt x  + 1} \over {\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}}  \cr  &  = {{\sqrt x  - 1} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}.\left( {\sqrt x  + 1} \right) \cr&= {{\sqrt x  - 1} \over {\sqrt x }} \cr} \)

b. Ta có: \(P < 0\) (điều kiện \(x > 0\))

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow {{\sqrt x  - 1} \over {\sqrt x }} < 0\cr& \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 < 0\,\,\,\left( {\text{Vì }\,\sqrt x  > 0\,khi\,x > 0} \right)  \cr  &  \Leftrightarrow \sqrt x  < 1 \Leftrightarrow 0 < x < 1 \cr} \)

Bài 5. Điều kiện : \(x ≥ 0\).

Ta có:

\(\eqalign{  & \left( {3 - 2\sqrt x } \right)\left( {2 + 3\sqrt x } \right) = 16 - 6x  \cr  &  \Leftrightarrow 6 + 9\sqrt x  - 4\sqrt x  - 6x = 16 - 6x  \cr  &  \Leftrightarrow 5\sqrt x  = 10  \cr  &  \Leftrightarrow \sqrt x  = 2 \cr} \)

\(\;\;⇔ x = 4\) (thỏa mãn điều kiện)