Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1], f(x) và f' (x) đều nhận giá trị

Câu hỏi :

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1], f(x) và f' (x) đều nhận giá trị dương trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0)=2,${\int }_0^1{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right).\left[\mathrm{f}\right(\mathrm{x}){]}^2+1]\mathrm{dx}=2{\int }_0^1\sqrt{{\mathrm{f}}^{\text{'}}\left(\mathrm{x}\right)}.\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}.$ Tính${\int }_0^1\left[\mathrm{f}\right(\mathrm{x}){]}^3\mathrm{dx}?$